На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована "змейка", представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Решение:

Сначала разберём предложенный рисунок. Найдём длину ломаной: 1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10+10. у змейки каждое звено повторяется дважды. Это значит, что сумму можно записать иначе: 2·1+2·2+2·3+2·4+2·5+2·6+2·7+2·8+2·9+2·10. Вынесем общий множитель 2 за скобки: 2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10). Заметим, что в скобках чисел 10 (n=10). Найдём сумму чисел в скобках по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n=((a₁+a_n)/2)n. 

Значит, длина ломаной 2·55=110.

По аналогии с предыдущим примером формула для нахождения длины ломаной, у которой последнее звено имеет длину 190, будет выглядеть так: 2(1+2+3+4+5+...+188+189+190)=2(((1+190)/2)190)=36290.

Ответ: 36290